Tư duy về Lòng biết ơn

Các bạn trẻ quí mến, trang web Tư Duy Thịnh Vượng (TDTV) này đột ngột bì dừng từ cuối tháng 8, sau khi tôi đi học khóa NLP ở Đà Nẵng cùng bạn Chí Linh về. Đầu tiên, với những ai quan tâm, tôi xin lỗi vì sự dừng viết đột ngột đó.

Cũng với những bạn còn quan tâm, tôi xin có mấy lời về lý do sự cố trên. Tôi gọi đó là sự cố, vì nó ngoài ý muốn, và khá bất ngờ. Nhưng mọi việc đều có lý do tích cực của nó.
Ai làm việc gì, kể cả khi việc đó sau này được coi là sai lầm hay tội ác, thì ngay lúc đó người ta cũng luôn tin mình đúng, luôn có và bám vào một/những lý do tích cực để làm động lực cho hành động của mình. Tôi cũng có lý do “mình đúng” khi tạm ngừng viết. Thực ra tôi đã rất buồn và không thể viết được gì cho các bạn, cho đến hôm nay…

Sau khóa NLP về, Chí Linh đã không liên lạc với tôi mấy tuần, làm cho các buổi đào tạo cuối tuần của tôi dành cho các bạn không tiếp tục được, tôi nghĩ Linh đã rất bận rộn. Nhưng rồi tôi nhận được tin Linh nhắn: “Thầy dậy chúng em sống và làm việc gì cũng phải có Lòng biết ơn. Và em biết ơn XHCN, mà thầy lại không dậy chúng em biết ơn XHCN!”

Tôi hơi bất ngờ, và đã trả lời Linh: “Thầy không biết XHCN là gì trên thực tế, và hình như chưa ai biết, người ta chỉ vẽ nó ra rất đẹp trên lý thuyết và muốn xây dựng nó. Nhưng những nước tưởng như gần có nó rồi, thì sụp đổ hàng loạt – vì thực tế cái người ta nhân danh nó – XHCN mà hành động lại rất tồi tệ, xấu xa, sai lạc… Có lẽ vì nó - XHCN sai, nó phản lại bản chất con người? Tóm lại, đơn giản là thầy không thể dạy các em đặt lòng biết ơn vào cái gì không tồn tại, và thầy không biết là gì đó…”

Linh lại nói: “Em được thế này là nhờ CNXH…nên em biết ơn CNXH!”. Tôi phản đối: “Em được thế này là nhờ cha mẹ, nhà trường, quê hương…và bản thân em, thì đúng. Nhưng nhờ XHCN? Thầy nghi ngờ điều đó. Phải nói, vì XHCN em chỉ được như thế này thôi, mới đúng. Với tài năng và đức độ của em, nếu ở một xã hội tốt đẹp hơn (phi XHCN chả hạn) có lẽ em thực sự sẽ là niềm tự hào lớn của gia đình, nhà trường, quê hương… Em có chí rất lớn, các bạn khác cũng thế...”

“Nhưng em cảm thấy không biết ơn XHCN là có gì đó không ổn…”

Với từ “không ổn” của Linh, tôi biết vấn đề này làm em đang phải day dứt. Tôi nói: “Em cảm thấy không ổn là vì em tưởng không biết ơn XHCN là không biết ơn cha mẹ (cha mẹ em là cán bộ to), nhà trường và quê hương (trong mắt em là nhà trường và quê hương XHCN…), nhưng đó là cảm giác sai do tư duy sai.”

“Biết ơn ai, cái gì và như thế nào đó là quyền và lựa chọn của em, và thầy tôn trọng điều đó. Nhưng đó không có nghĩa thầy cho việc biết ơn XHCN đó là đúng và ủng hộ em.”

Và tôi giải thích: ”Thầy cũng sinh ra và lớn lên trong chế độ này, cũng được dậy dỗ phải biết ơn XHCN. Và thầy đã từng biết ơn không hoài nghi, như biết ơn ông bà cha mẹ làng quê mình, như em bây giờ. Rồi thầy được chứng kiến từ bên trong sự sụp đổ của cả hệ thống XHCN mà không chỉ thầy mà cả nước ta tôn thờ và ngưỡng vọng, thầy đã phải tự đặt ra những câu hỏi “Tại sao?” để tìm câu trả lời (thầy đã thực sự bắt đầu tư duy). Việc đó giúp thầy nhìn ra sự thật, độc lập và khách quan, có phân tích và tự do chọn lựa (có tư duy), không phải do ai đó nhồi nhét vào đầu mình như trước (không có tư duy), về CNXH…”

Như vậy, tôi và Linh đã có tranh luận nhỏ về cách áp dụng Lòng biết ơn trong cuộc sống. Cùng môi trường sống “XHCN” gần như nhau (ông cha tôi cũng là cán bộ đảng viên như cha mẹ Linh), có thể nói tôi còn được ưu ái hơn vì được chế độ cho đi học nước ngoài bằng học bổng nhà nước hơn 10 năm ở nước ngoài, vậy mà tại sao Linh thì biết ơn XHCN, còn tôi thì lại không?

Phải nói rõ lại, hồi còn trẻ như các bạn, tuổi 15-25, tôi cũng đã rất tin tưởng và biết ơn XHCN, theo bản năng được dậy dỗ thôi, không suy nghĩ hay hoài nghi gì về điều đó. Tôi chỉ bắt đầu thực sự tư duy về XHCN là những năm cuối và khi tốt nghiệp ĐH như đã nói trên (những năm 1980-82, khi Linh và đa số các bạn chưa ra đời), chính là khi hệ thống XHCN bắt đầu sụp đổ ở Châu Âu.

Đầu tiên, tôi nhận thức được rằng XHCN “có vấn đề” lớn, và sai cơ bản. Từ đó tôi mới không tin tương lai XHCN mà đảng hứa hẹn cho đất nước nữa là tốt đẹp nữa. Từ tin tưởng, đến hoài nghi, không tin và đến không biết ơn XHCN là quãng đường dài tôi đã qua.

Đầu tiên, tôi đã phải học cách biết tách biệt lòng biết ơn đối với cha mẹ, gia đình dòng tộc, nhà trường, quê hương… ra khỏi lòng biết ơn (nếu có) đối với xã hội chính trị, nhà nước hay thể chế XHCN, đảng phái chính trị… riêng rẽ ra. Người ta (nhà trường XHCN, gia đình, xã hội này…)

thường cố tình và vô tình dậy các bạn gộp tất cả những phạm trù đó vào làm một (chỉ vì chúng liên quan đến nhau và cũng tác động lên quan điểm và hành vi của bạn?). Thật ra, đó là để bạn phải biết ơn tất cả những đối tượng đó cùng lúc… (Họ muốn khai thác lòng biết ơn trong sáng và bản năng của con người nói chung với gia đình, quê hương… cho đảng và XHCN). Với tuyệt đại đa số người Việt hôm nay, họ đã thành công trong việc làm nhập nhèm đó, mà người ta gọi nôm na là “nhồi sọ”.

Bởi vì, là con người có học hành, chúng ta ai cũng nên và sẽ yêu quí và biết ơn cha mẹ, ông bà, gia đình dòng tộc, và cả quê hương nơi ta đã lớn lên, nhà trường thầy cô đã dậy dỗ ta, và cả đất nước dân tộc nữa… Đó là những nơi chúng ta phải và sẽ luôn biết cách đặt Lòng biết ơn của mình hầu như vô điều kiện, hầu như không phải lựa chọn. Nhưng chỉ thế thôi.

Còn xã hội này, nhà nước, thể chế XHCN này, đảng lãnh đạo này… là những cái chúng ta cần phải biết cân nhắc (có tư duy của mình), có đánh giá, có quan điểm và lựa chọn cá nhân, tùy thuộc vào thực tế những gì ta thấy, và ta phải biết so sách với các xã hội, nhà nước, thể chế, đảng phái khác, rồi mới yêu quí, tin cậy và quyết định có nên biết ơn hay không và như thế nào.

Chí Linh đã không phân biệt được hai nhóm đối tượng biết ơn này hoàn toàn khác nhau này. Nhóm đối tượng thứ nhất chúng ta không được chọn (cha mẹ, nhà trường, quê hương, đất nước…), và nhóm thứ hai chúng ta được quyền lựa chọn. Chỉ là chúng ta đã không được giáo dục và trang bị để dùng quyền tư duy và lựa chọn đó của mình.

Chúng ta đã nói nhiều, nói kỹ về lòng biết ơn trên trang web này rồi. Tôi đã dịch cho các bạn cuốn “Khoa học Làm giàu” trong đó có cả một chương (Chương 7) dành cho Lòng biết ơn. Không hiểu sao vừa rồi Chí Linh lại cho xóa hết bản dịch cuốn sách đó đã được tôi đăng tải (18 bài) trên trang web www.tuduythinhvuong.org này?

Chính vì chúng ta yêu quí, tin cậy và mong muốn có nhiều điều tốt đẹp cho gia đình, dòng tộc, quê hương, mái trường xưa… mà chúng ta đặt lòng biết ơn của mình vào đó, để mình đóng góp vào và mong nhận được mọi thứ tốt đẹp hơn.

Nhưng để yêu quí, tin cậy để rồi biết ơn xã hội, nhà nước XHCN, thể chế XHCN, đảng CS… thì phải nhìn vào hành động và kết quả (hồi bé chúng ta tin khi chỉ dựa vào lời nói của nhà trường, cha mẹ, xã hội… về XHCN là đủ) của những thứ đó. Chúng ta cần mang hành vi và kết quả của xã hội, nhà nước XHCN, thể chế XHCN, đảng đó so với hành động và kết quả của các xã hội, nhà nước XHCN, thể chế XHCN, đảng khác… xem chúng có thật sự là tốt đẹp không? Nay, chúng ta không còn bé nữa rồi, chỉ nói thôi là không đủ đối với chúng ta, dù người nói là cha mẹ hay thầy cô, hay chính quyền, phải không các bạn?

Vấn đề của Chí Linh, của các em, là không có đủ các thông tin về các xã hội, nhà nước XHCN, thể chế XHCN, đảng phái khác để so sánh. Và một điều như đã nói trên là, các bạn chưa biết tách biệt gia đình-cha mẹ, nhà trường, quê hương, đất nước, dân tộc ra khỏi các phạm trù phải được chọn lựa như hình thái xã hội, nhà nước, thể chế, đảng phái… khi cân nhắc và đặt biết ơn của mình vào để sống và cống hiến. Chính vì thế, thầy đã luôn khuyên các em nên tìm hiểu thêm thật nhiều về thế giới qua sách báo và internet, hãy đi du lịch, đi công tác nước ngoài thật nhiều khi có thể để học hỏi. Đó là những Con tàu Thời gian vô giá giúp các em mở rộng tầm mắt và phát triển tốt và đúng hướng nhất

Một lần nữa, như thầy đã nói với Chí Linh, thầy không thể khuyên em/các em nên biết ơn XHCN - cái mà thầy không biết mặt mũi nó là gì, và cả em nữa hay tất cả chúng ta cũng thế - cái gọi là CNXH đó. Nhưng thầy sẽ không cản ngăn hay phản đối các em.

Thầy cũng không thể đòi hỏi các em như mình, nhìn XHCN với con mắt độc lập hơn như hiện nay. Thầy không thể đòi hỏi các em làm được ngay cái việc mà bản thân mình thầy phải mất nhiều năm tuổi trẻ, và phải trả giá bằng cả hướng đi của cuộc đời mình (tức là sự nghiệp), mới làm được.

Nhưng thầy tin, một ngày không xa, với trí óc và trái tim trong sáng của mình, em Chí Linh và các em sẽ nhìn ra bản chất XHCN và sẽ quyết định lại lần nữa, có nên biết ơn nó hay không? Chỉ cần các em tiếp tục đặt những câu hỏi như thế và tự đi tìm câu trả lời cho chính mình, bằng tư duy của mình, để có Niềm tin cao nhất.

Trở lại với vấn đề đặt ra của đầu bài – Tư duy về Lòng biết ơn XHCN, thầy muốn tóm tắt lại, như sau:

Các bạn hãy luôn biết sống với lòng biết ơn, kể cả biết ơn XHCN. Nhưng hãy nhớ Lòng biết ơn xuất phát từ Tình yêu và Niềm tin. Mà Niềm tin – chúng ta đã nói kỹ rồi - thì phải ở cấp độ 4, cấp độ cao nhất, là phải được xây dựng, kiểm chứng và lựa chọn của bạn trên hành động và kết quả của những người được các bạn đặt Niềm tin và Lòng biết ơn (ở đây là XHCN). Vậy nên Chí Linh và các bạn hãy kiểm chứng hành động và kết quả mạng lại của những cái, những thứ, những người mang mác XHCN, rồi hãy tin, rồi hãy lựa chọn biết ơn XHCN hay không.

Chỉ thế thôi. Thầy tin Chí Linh và các bạn sẽ tìm thấy sự thật, đến được với chân lý, chọn được địa chỉ xứng đáng để gửi gắm Tình yêu, Niềm tin và Lòng biết ơn vô giá của cuộc đời mình.

Ths.Trần Thành Nam

Vì sao laptop Windows có tuổi thọ pin thấp?

Vấn đề tuổi thọ pin thấp của máy tính xách tay (laptop) chạy hệ điềi hành Windows so với các đối thủ MacBook Pro/Air đã được xem xét để tìm hiểu nguyên nhân.

Trong nhiều năm, người dùng có thể cho rằng tuổi thọ pin trên các laptop Windows yếu kém là vì màn hình cũng như công nghệ xử lý vượt xa công nghệ pin. Nhưng khi Apple bước vào thị trường với MacBook Pro/Air và iPad, mọi con mắt đổ lỗi đã hướng về nền tảng Windows của Microsoft. Sự khác biệt về tuổi thọ pin giữa Windows và các hệ điều hành khác chưa bao giờ được xác định rõ ràng hơn sau khi Surface Pro 2 và MacBook Air 2013 ra mắt. Cả 2 sản phẩm này có thông số kỹ thuật tương tự (bao gồm CPU Core i5 Haswell, GPU, dung lượng pin), nhưng sản phẩm của Apple cung cấp tuổi thọ pin gần gấp đôi so với tablet của Microsoft.

Những gì người dùng đánh giá ở đây chính là khả năng tiết kiệm điện năng trên một loạt các thiết bị sử dụng nền tảng Windows, Mac, iOS và Android. Bạn có thể có hai thiết bị với thông số kỹ thuật tương tự như (iPad so với Surface RT, MacBook Air so với một ultrabook), và bằng cách nào đó các máy tính Windows cung cấp tuổi thọ pin ít hơn từ 25-50%.

Nếu muốn chứng minh, người dùng hãy thử cài đặt Windows 8 trên MacBook Air 2013. Nếu trên cùng phiên bản 13-inch đi kèm OS X 10.8 cài đặt sẵn cung cấp thời lượng sử dụng 14 giờ với WiFi thì nó chỉ còn 8 giờ trên Windows. Điều thất vọng này kéo dài từ khá lâu, cụ thể trong năm 2009 với MacBook Pro 15-inch cho thời gian pin khoảng 8 giờ với OS X 10.5.7, trong khi Windows Vista SP1 64-bit là khoảng 6 giờ.

Vậy đâu là nguyên nhân gây ra sự thất vọng với tuổi thọ pin trên laptop chạy Windows? Có lẽ câu trả lời hợp lý nhất lúc này chính là do Apple thiết kế phần cứng và phần mềm làm việc một cách liền mạch, do đó nó được tối ưu hơn trong sử dụng điện năng. Mặt khác, Microsoft phải viết một phần mềm làm việc tốt như nhau trong một phạm vi lớn các phần cứng khác nhau, nên hệ điều hành của họ không thể tối ưu ở mức cao nhất để có thể mang lại kết quả tốt trong việc quản lý điện năng từ các CPU, GPU, các chip không dây....

Và lập luận trên lại được gạt bỏ khi Apple ra mắt MacBook Air 2013 11-inch, trong khi Microsoft ra mắt Surface Pro 2. Cả 2 thiết bị này đều được thiết kế bởi chính nhà sản xuất, do đó không thể cho rằng Microsoft không tiến hành tối ưu hóa Windows cho phần cứng của mình. Cả 2 đều có CPU Core i5-4200 (Haswell), RAM 4 GB và ổ lưu trữ flash NAND của Intel. MacBook Air có độ phân giải màn hình thấp hơn so với Surface Pro 2 (1366 x 768 so với 1920 x 1080), nhưng nó cũng có pin nhỏ hơn 10% (38 whr cho MBA, còn Pro 2 là 42 whr). Sự khác biệt duy nhất là CPU của MacBook Air chạy ở tốc độ 1,3 GHz, còn Surface Pro 2 là 1,6 GHz (nhưng chúng đều có khả năng nâng lên 2,6 GHz qua tính năng Turbo Boost). Các thử nghiệm từ AnandTech dành cho hoạt động duyệt web với pin chuẩn trên MacBook Air được đo là 11,1 giờ, trong khi Surface Pro 2 là 6,68 giờ. Điều đó cho thấy OS X của Apple cung cấp gần gấp đôi tuổi thọ pin so với Windows 8 của Microsoft khi trên cùng một thông số phần cứng do chính hãng sản xuất.

Mặc dù cả 2 thiết bị đã được tạo ra bởi chính nhà cung cấp hệ điều hành, nhưng tại sao Windows có tuổi thọ pin kém hơn so với OS X, iOS hay cả Android. Có lẽ chỉ đơn giản là Microsoft không quá tập trung tối ư điện năng cho các tác vụ nhàn rỗi như Apple và Google từng làm. Surface Pro 2 gần như được xem là thiết bị đầu tiên mà Microsoft tiến hành kiểm soát cả phần cứng và phần mềm, nhưng điều đó không có nghĩa là Microsoft yếu kém trong vấn đề này, mà bởi vì Apple đã được rèn luyện trong gần một thập kỷ qua. Vẫn chưa thế nói chắc chắn điều gì, nhưng sự chênh lệch lớn trong tuổi thọ pin thực sự là một lỗ hổng lớn bên trong nhân của Windows dẫn đến việc quản lý điện năng chưa thật sự được tối ưu tương ứng cho từng tác vụ cụ thể.

Tuy nhiên, dù bằng cách nào đi chăng nữa thì ít nhất sự mờ nhạt của Windows cũng được giảm phần nào nhờ sự trợ giúp hữu ích đến từ chíp xử lý mới nhất của Intel. Các thử nghiệm đã chứng tỏ rằng Surface Pro 2 có tuổi thọ pin tốt hơn 40% so với phiên bản tiền nhiệm, và điều đó hoàn toàn nhờ vào chíp Haswell mới. Tất nhiên việc nâng từ 4,7 giờ đến 6,7 giờ là điều tốt, nhưng 10 giờ so với 14 giờ thì quả thực vẫn còn là sự khác biệt lớn. Đối với những người dùng Windows, họ mong chờ Microsoft sẽ làm rất nhiều điều để giảm khả năng tiêu hao điện năng khi máy ở chế độ nhàn rỗi so với OS X hoặc iOS.

Thu Phương (Extremetech)
Theo NLĐ

Xóa bỏ dữ liệu đồng bộ trên mây từ Windows 8.1

Nếu vì một lý do nào đó, bạn muốn xóa sạch các dữ liệu đã lưu trữ từ việc đồng bộ tự động trước đây trên các máy chủ của Microsoft thì bạn hoàn toàn có thể thực hiện điều này.

Một trong những thay đổi lớn trong Windows 8 là chuyển từ tài khoản cục bộ của máy tính sang tài khoản Microsoft. Trong khi hệ điều hành vẫn cung cấp cho người dùng với các tùy chọn để tạo ra tài khoản cục bộ nhưng nó lại hạn chế một số tính năng cũng như các thiết lập.

Những lợi ích của việc sử dụng tài khoản Microsoft để đăng nhập vào Windows 8 hoặc Windows 8.1 là một số dữ liệu trên máy sẽ được đồng bộ tự động với các máy chủ của Microsoft. Việc này được thực hiện thông qua SkyDrive, một dịch vụ lưu trữ đám mây của công ty. Tuy nhiên các dữ liệu được đồng bộ trên mây không thể truy cập trực tiếp từ SkyDrive.

Đồng bộ hóa SkyDrive trên Windows 8.1

Trong Windows 8.1, các dữ liệu sau đây có thể được đồng bộ hóa:

• Thiết lập cá nhân như màn hình khởi động và bố trí của các tile, các chủ đề desktop, thanh tác vụ, hình nền, tài khoản và màn hình khóa và màu sắc.
• Ứng dụng cài đặt, bao gồm danh sách các ứng dụng được cài đặt trên máy tính, các thiết lập liên quan đến các ứng dụng và ứng dụng được mua trên kho ứng dụng.
• Dữ liệu Internet Explorer như mật khẩu, trang yêu thích, các tab đang mở, trang chủ, lịch sử duyệt web cũng như các thiết lập.
• Tuỳ chọn ngôn ngữ như bố trí bàn phím, ngôn ngữ hiển thị hoặc từ điển cá nhân.
• Chuột, máy in và cấu hình File Explorer.

Trong khi đó bạn có thể tắt tính năng đồng bộ hóa để ngăn chặn việc đồng bộ các thiết lập trên máy tính bạn đang làm việc thì nó cũng sẽ không ảnh hưởng đến bất kỳ dữ liệu nào đã được đồng bộ trước đó.

Nếu vì một lý do nào đó, bạn muốn xóa các dữ liệu đã lưu trữ từ việc đồng bộ tự động trước đây trên các máy chủ của Microsoft thì bạn hoàn toàn có thể thực hiện điều này.

Lưu ý rằng nếu bạn sao lưu các thiết lập của bạn lên SkyDrive, bạn có thể khôi phục chúng vào máy tính của bạn trong tương lai.

Còn nếu không muốn đồng bộ một cách tự động mỗi khi đăng nhập vào tài khoản Micrsoft trên Windows 8.1 nhưng vẫn muốn lưu lại các thiết để khôi phục lại dữ liệu bằng tay, bạn có thể chọn thiết lập “Back up your settings for this PC”.

Xóa dữ liệu trên điện toán đám mây

Microsoft đã tạo ra một trang web cho phép bạn xóa các thiết lập cá nhân của bạn từ kho lưu trữ đám mây. Chỉ cần truy cập trang web này để bắt đầu.

Nhưng lưu ý rằng trước khi bạn truy cập vào trang web nói trên, hãy tắt tính năng đồng bộ hóa trên tất cả các máy tính đang được kích hoạt. Khi đã xong xuôi, truy cập vào trang web trên và bấm vào nút Remove, hoặc Loại bỏ nếu sử dụng ngôn ngữ tiếng Việt.

Xóa dữ liệu từ xa

Tuy nhiên đó không phải là cách duy nhất khi mà bạn có thể thực hiện xóa các dữ liệu sao lưu trên các thiết bị nếu tùy chọn được kích hoạt trên một hoặc nhiều máy tính cá nhân.

Tại trang web nói trên, bạn nhấn vào liên kết Device settings page (hoặc Trang cài đặt thiết bị), bấm vào mục Device settings (hoặc Cài đặt thiết bị), nhấn nút Delete (hoặc Xóa) bên cạnh mỗi thiết bị được liệt kê ở đây để thực hiện công việc của mình.

Một khi bạn đã thực hiện cả hai, bạn đã xóa thành công tất cả các dữ liệu lưu trữ trên kho điện toán đám mây trong tài khoản Microsoft mà bạn sử dụng trên thiết bị của mình.

Lưu ý rằng công việc này thực hiện tương tự như trong Windows 8, nhưng có sự khác biệt là bạn có thể truy cập các thiết lập đồng bộ trực tiếp trên hệ thống.

Theo NLĐ

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Bình Định năm học 2013-2014

Bài 1: Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy+y\sqrt{x^2-y^2}}{14} =\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{2}}& & \\ \sqrt{\left ( \frac{x+y}{2} \right )^3}+\sqrt{\left ( \frac{x-y}{2} \right )^3}=9& & \end{matrix}\right.$$

Bài 2: Cho tập $M=\left\{1,2,3,...,2013,2014\right\}$

$a.$ Lấy ngẫu nhiên ra hai số trong tập $M$. Tính xác suất để mỗi số trong hai số đó chia hết cho ít nhất một trong các số $2,3,13$

$b.$ Có bao nhiêu cách chọn ra hai tập hợp con của $M$ (không kể thứ tự) mà giao của chúng có duy nhất một phần tử ?

Bài 3: Cho dãy $(U_n)$ xác định bởi:$-1<U_0<1,U_n=\sqrt{\frac{1+U_{n-1}}{2}}$

Với $n=1,2,...$

Hai dãy $(V_n)$ và $(W_n)$ được xác định như sau:$V_n=4^n(1-U_n)$ và $W_n=U_1U_2...U_n$

Tìm $\lim V_n$ và $\lim W_n$

Bài 4:

$1.$ Cho tam giác $ABC$. Các đường phân giác $BD,CE$ của tam giác cắt nhau tại $I$.

Chứng minh rằng: Tam giác $ABC$ vuông khi và chỉ khi $S_{BCDE}=2S_{BIC}$

$2.$ Cho hình chóp $SABC$ trong đó $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các tia $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho: $SA.SA'=SB.SB'=SC.SC'$. Vẽ $SH\perp (A'B'C')$ cắt $(ABC)$ tại $G$

$a.$ Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$b.$ Cho $SA=a,SB=b,SC=c$. Gọi $r$ là bán kình mặt cầu nội tiếp hình chóp $SABC$.

Chứng minh:$$r=\frac{S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCA}-S_{ABC}}{a+b+c}$$

Bài 5: Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm:$$\left\{\begin{matrix} \log_{x^2+y^2}(x-y)\geq 1 & & \\ x-2y=m & & \end{matrix}\right.$$

----Hết----

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Đăk Lăk năm học 2013-2014

Ngày thứ 1:

Câu 1: (5 điểm)

Cho hàm sô $y=3(1+x^2)\sqrt{1+x^2}-\frac{13}{3}(1-x^2)\sqrt{1-x^2}$ $(C)$ , với $x\in [0;1]$ . Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ với hệ số góc lớn nhất.

Câu 2: (5 điểm)

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}+4\sqrt[4]{xy^3}+3\sqrt[8]{y^3z^5}=1 \\ \frac{4x}{x+1}+\frac{2y}{y+1}+\frac{3z}{z+1}=1 \\ 8^9x^2y^4z^3=1 \end{matrix}\right.$$

Câu 3: (5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Gọi $D$ là điểm thuộc cung $BC$ không chứa $A$ và $H,I,K$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $BC,AC,AB$ . Tìm vị trí điểm $D$ sao cho:

$$S=\frac{AB}{DK}+\frac{AC}{DI}+\frac{BC}{DH}$$

đạt GTNN.

Câu 4: (5 điểm)

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn: $P(x+1)=P(x)+3x^2+3x+1,\forall x\in \mathbb{R}$

Ngày thứ 2:

Câu 1: (5 điểm)

Cho dãy $\left ( x_n \right )$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x_0=2013 & \\ x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n} & \end{matrix}\right.$

Tính $$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{x_n^2}}{n}$$

Câu 2: (5 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để phương trình $(x+1)^n+(1-x)^n+(x+3)^n=0$ có một nghiệm nguyên.

Câu 3: (5 điểm)

Chứng minh rằng trong $1008$ số nguyên dương không vượt quá $2014$, luôn tồn tại ít nhất một số chia hết cho một số khác trong đó.

Câu 4: (5 điểm)

Cho tứ diện $ABCD$ trên các cạnh $AB$, $AC$ và $AD$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ và $P$ sao cho $AB=k.AM$, $AC=k.AN$ và $AD=(k+1).AP$ với $k\geq 1$ tùy ý. Chứng minh rằng mặt phẳng $(MNP)$ luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định.

--- Hết ---

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 10)

31. Số nguyên tố sinh đôi là gì?

Một hiện tượng thú vị là sự xuất hiện của những cặp số nguyên tố còn gọi là số nguyên tố sinh đôi.

Một cặp sinh đôi là một cặp số nguyên tố có hiệu bằng $2$, ví dụ như $11$ và $13$.

Các cặp số nguyên tố nhỏ hơn $1000$, xếp theo thứ tự, là:

$$(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).$$

32. Có phải các số nguyên tố sinh đôi cũng vô hạn về số lượng?

Ba mươi lăm cặp số vừa nêu ở trên là nằm giữa $1$ và $1000$. Nhưng danh sách có thể tiếp tục kéo dài đến vô hạn.

Một cặp sinh đôi khác là $(4049, 4051).$

Một cặp khác nữa là $(1.000.000.009.649, 1.000.000.009.651).$

Người ta ước đoán rằng số lượng cặp số nguyên tố sinh đôi là vô hạn, nhưng chưa ai chứng minh được.

33. Tính chất chung cho các số nguyên tố sinh đôi là gì?

Mọi cặp số nguyên tố, trừ ngoại lệ là cặp số đầu tiên, tức cặp $(3,5)$, có một tính chất chung nổi bật là tổng các số trong cặp luôn luôn chia hết cho $12$.

Ví dụ, cặp $(5,7)$ có tổng bằng $12$, cặp $(11,13)$ có tổng bằng $24$, cặp $(17,19)$ có tổng bằng $36$, và vân vân, mỗi tổng đều chia hết cho $12$.

34. Một hợp số có bao nhiêu ước số?

Đặt $N = a^{p}b^{q}c^{r} $là một hợp số, trong đó $a, b, c$ là những số nguyên tố khác nhau, và $p, q, r$ là các số nguyên dương.

Số lượng ước số khi đó là $(p + 1)(q + 1)(r + 1).$

Làm thế nào có được?

Xét tích số

$$(1 + a + a^{2} + ... + a^{p}) (1 + b + b^{2} + ... + b^{q}) (1 + c + c^{2} + ... + c^{r}).$$

Tổng các số hạng trong tích này là $(p + 1)(q + 1)(r + 1)$ và mỗi số hạng trong tích trên là một ước số của con số đã cho. Vì thế, số lượng ước số là $(p + 1)(q + 1)(r + 1).$

Đồng thời, không còn số nào khác có thể là ước số.

Trong các ước số này đã tính luôn cả $1$ và số $N$.

35. Tính chất này được khái quát hóa như thế nào?

Nếu $N = a^{p}b^{q}c^{r}d^{s}..$., thì số lượng ước số tương tự sẽ là $(p + 1)(q + 1)(r + 1)(s + 1)...$, trong đó đã tính cả $1$ và số $N$.

36. Số $30$ có bao nhiêu ước số, và chúng bằng bao nhiêu?

Vì

$$30 = 2 \times 3 \times 5 = 2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1}$$

nên số lượng ước số bằng $2 \times 2 \times 2 = 8.$

Các ước số đó là $2, 3, 5, 6, 10, 15; 1$ và $30.$

37. Số $7056$ có bao nhiêu ước số?

Vì $7056 = 2^{4} × 3^{2} × 7^{2},$

nên số lượng ước số bằng $(4 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 5 × 3 × 3 = 45.$

Nếu trừ đi hai ước số tầm thường $1$ và $7056$ thì số lượng ước số đích thực bằng $43.$

38. Làm thế nào xác định số mũ cao nhất của một số nguyên tố chứa trong $n!$ ?

Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ phương pháp xác định.

Chúng ta hãy tìm số mũ cao nhất của $3$ trong $100!$, tức là tích $1.2.3....100.$

Số nguyên $3$ chỉ xuất hiện trong các số nguyên $3, 6, 9,...,99$, tức là mỗi số nguyên chia hết cho $3.$

Do đó, số lượng của chúng được cho bởi thương số của $100$ và $3$, tức là $33.$

$3$ xuất hiện lần thứ hai trong các số nguyên $9, 18, 27,...,99,$ số lượng của chúng bằng thương của $100$ chia $9$, tức là $11.$

$3$ xuất hiện lần thứ ba trong số nguyên $27, 54, 81.$

Số lượng của chúng bằng thương số $100$ chia $27$, tức là $3.$

$3$ xuất hiện lần thứ tư chỉ trong số $81.$

Vì thế số mũ cao nhất cần tìm bằng $33 + 11 + 3 + 1 = 48.$

Như vậy, để tìm số mũ cao nhất của một số nguyên tố $p$ chứa trong $n!$, chúng ta tìm thương số của $n$ chia lần lượt cho $p, p^{2}, p^{3},...$ rồi cộng chúng lại.

Tương tự, ta có thể tìm số mũ cao nhất của $7$ chứa trong $1000!$ là $164$.

39. Định lí Fermat là gì?

Nếu $p$ là một số nguyên tố, và $N$ là số nguyên tố cùng nhau với $p$, thì $N^{p-1} – 1$ là một bội số của $p$.

Đây chính là định lí Fermat.

Vì $N$ là số nguyên tố cùng nhau với $p$, nên có thể nhân biểu thức trên với $N$, và chúng ta có được kết quả sau:

$N^{p} – N$ là chia hết cho $p$ với mỗi số nguyên tố $p$.

Như vậy, $n^{2} – n$ là chia hết cho $2$.

Nói bằng lời, kết quả này có nghĩa là hiệu giữa bình phương của một số và chính số đó luôn luôn là một số chẵn.

Tương tự, $n^{3} – n, n^{5} – n, n^{7} – n, n^{11} – n,...$ lần lượt chia hết cho $3, 5, 7, 11,...$, nhưng những kết quả tương tự không đúng đối với $n^{4} – n, n^{6} – n,...$ vì $4, 6$ không phải là số nguyên tố.

40. Nhưng làm thế nào $n^{5} – n$ chia hết cho $3$, chứ không riêng chia hết cho $5$?

Vì $5$ là số nguyên tố, do đó theo định lí Fermat $n^{5} – n$ là chia hết cho $5$.

Mặt khác,

$$n^{5} – n = n (n^{4} – 1)$$

$$= n (n^{2} – 1) (n^{2} + 1)$$

$$= n (n – 1) (n + 1) (n^{2} + 1)$$

$$= (n – 1) n (n + 1) (n^{2} + 1)$$

$(n – 1) n (n + 1)$ là kí hiệu cho tích của ba số tự nhiên liên tiếp, và chia hết cho $3!$ hoặc $6$. Do đó, $n^{5}– n$ là chia hết cho $5 \times 6$, tức là $30.$

Lập luận tương tự, ta có $n^{7} – n$ còn chia hết cho $7 \times 6$, tức là $42$, chứ không riêng chia hết cho $7.$

41. Từ định lí Fermat còn suy ra được những kết quả gì khác?

Ta suy ra được những kết quả sau đây:

1. Mỗi số chính phương là có dạng $5n$ hoặc $5n \pm 1$, trong đó $n$ là một số nguyên dương.
2. Mỗi số có căn bậc ba nguyên là có dạng $9n$ hoặc $9n \pm 1.$
3. Một số vừa là chính phương vừa có căn bậc ba nguyên thì có dạng $7n$ hoặc $7n + 1.$

42. Định lí Wilson là gì?

Định lí Wilson phát biểu rằng:

Số $(n – 1)! + 1$ là chia hết cho $n$, nếu và chỉ nếu $n$ là số nguyên tố.

Ví dụ, với $n = 5, (n – 1)! + 1 =25$ chia hết cho $5$, vì $5$ là số nguyên tố.

Nhưng nếu $n = 6$ thì $(n – 1)! + 1 = 121$ không chia hết cho $6$, vì $6$ không phải là số nguyên tố.

43. Người ta sử dụng phép quy nạp toán học như thế nào để chứng minh tính chia hết?

Phương pháp quy nạp toán học trong đó chúng ta đi từ phát biểu riêng đến phát biểu khái quát thỉnh thoảng có thể được sử dụng để chứng minh một số kết quả về tính chia hết.

Lấy ví dụ, chúng ta chứng minh rằng $3^{2n} – 2n – 1$ là chia hết cho $2$, với mọi giá trị nguyên dương của $n$.

Ta hãy kí hiệu biểu thức trên là $f(n)$, khi đó

$$f(n) = 3^{2n} – 2n – 1 \, \, \, (1)$$

biến đổi $n$ thành $n + 1$ ta có

$$f(n + 1) = 3^{2n+2} – 2(n + 2) – 1$$

$$= 9. 3^{2n} – 2n – 3 \, \, \, (2)$$

Nhân $(1)$ với $9$, rồi lấy $(2) - (1)$, ta được

$$f(n + 1) – 9f(n) = – 2n – 3 – 9 (–2n – 1)$$

$$= –2n – 3 + 18 n + 9$$

$$= 16n + 6$$

$$= 2 (8n + 3)$$

Do đó, nếu $f(n)$ chia hết cho $2$, thì $f(n + 1)$ cũng chia hết cho $2.$

Cụ thể, $f(1) = 3^{2} – 2 – 1 = 6$, chia hết cho $2$, nên $f(2)$ chia hết cho $2$, rồi $f(3)$ cũng vậy, cứ thế. Như vậy, kết quả là đúng cho mọi trường hợp.

Những kết quả sau đây có thể được chứng minh tương tự:

i) $10^{n} + 3.4^{2+2} + 5$ là chia hết cho $9$

ii) $3^{4n+2} + 5^{2n+1}$ là chia hết cho $14$

iii) $3^{2n+2} – 8n – 9$ là chia hết cho $64$

iv) $3^{2n+5} + 160n^{2} – 56n – 243$ là chia hết cho $512$

v) $5^{2n+2} – 24n – 25$ là chia hết cho $576.$

44. Các số Pythagoras là gì?

Các số nguyên dương $x, y, z$ được gọi là số Pythagoras nếu chúng thỏa mãn phương trình: $x^{2} + y^{2}= z^{2}.$

Hai ví dụ quen thuộc của những số như thế là $3, 4, 5$ và $5, 12, 13.$

Ở đây ta có $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ và $5^{2} + 12^{2} = 13^{2}.$

Các số Pythagoras luôn làm thành ba cạnh của một tam giác vuông.

Đặc điểm nổi bật nhất của tam giác vuông được cho bởi định lí Pythagoras. Định lí phát biểu rằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông bằng bình phương của cạnh huyền.

Theo định lí Pythagoras, $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}.$

Các số như vậy được cho bởi:

$$x = m^{2} – n^{2}$$

$$y = 2mn$$

$$z = m^{2} + n^{2}$$

Trong đó $m, n$ là hai số nguyên dương bất kì, và $m>n$

45. Còn tổng lũy thừa cao nhất của các số nguyên thì sao? Hay định lí cuối cùng của Fermat là gì?

Một động thái tự nhiên là tìm kiếm các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn

$$x^{3} + y^{3} = z^{3}$$

$$x^{4} + y^{4} = z^{4}$$

$$x^{5} + y^{5} = z^{5}$$,

và vân vân.

Tất cả những trường hợp này được gộp chung lại như sau:

Tìm các số nguyên $x, y, z$ sao cho $x^{n} + y^{n} = z^{n} $,trong đó $n$ là một số nguyên lớn hơn $2.$

Vào khoảng năm $1637$, Fermat đã dành thời gian nghiên cứu bài toán này và đi tới kết luận rằng không thể tìm được những số nguyên như thế.

Kết quả này được gọi là định lí cuối cùng của Fermat.

Ông có đề cập rằng ông đã tìm ra một cách chứng minh không thể chối cãi của kết quả này, nhưng lề của quyển sách chỗ ông viết là quá hẹp để ghi nó ra. Fermat có thói quen ghi lại một số ý tưởng của ông trên lề của những quyển sách toán của ông.

46. Phép chứng minh đó có được tìm thấy lại hay không?

Một số nhà toán học trong hơn ba trăm năm qua đã cố gắng tìm lại phép chứng minh đó nhưng chẳng có ai thành công.

Định lí đã được chứng minh cho một vài giá trị của n, và người ta chưa tìm thấy ngoại lệ nào, nhưng một chứng minh tổng quát đúng cho mọi giá trị của n cho đến nay vẫn còn né tránh các nhà toán học.

47. Mỗi số nguyên dương có thể được biểu diễn theo tổng của bốn bình phương hay không?

Một tính chất thú vị đúng cho mọi số nguyên dương là mỗi số nguyên như thế có thể được biểu diễn ở dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} + u^{2}$ các giá trị bằng $0$ của $x, y, z, u$ là không thể tránh khỏi.

Ví dụ,

$$1 = 0^{2} + 0^{2} + 0^{2} + 1^{2}$$

$$2 = 0^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 1^{2}$$

$$3 = 0^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 1^{2}$$

$$4 = 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} $$

$$5 = 0^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 2^{2}$$

$$6 = 0^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 2^{2}$$

$$7 = 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 2^{2}$$

Vân vân.

$$50 = 0^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 7^{2}$$

$$234 = 2^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 13^{2}$$

$$2011 = 13^{2} + 16^{2} + 19^{2} + 35^{2}$$

Vân vân.

48. Các biểu diễn như trên có là duy nhất hay không?

Không. Có thể biểu diễn một con số theo kiểu như vậy bằng nhiều cách. Ví dụ

$$10007 = 99^{2} + 14^{2} + 3^{2} + 1^{2}$$

$$= 74^{2} + 65^{2} + 15^{2} + 9^{2}$$

$$= 62^{2} + 59^{2} + 51^{2} + 9^{2}$$

49. Những kết quả như thế có tồn tại cho số mũ nguyên $3$ và số mũ cao hơn hay không?

Các nghiên cứu đã được thực hiện theo chiều hướng này kể từ năm $1770$ và các kết quả liên tục được cải thiện.

Những kết quả thu được cho đến nay đủ để phát biểu rằng mỗi số nguyên $N$ đủ lớn là tổng của $9^{3}, 19^{4}, 41^{5}, 87^{6}, 193^{7}, 425^{8}, 949^{9}$ hoặc $2113^{10}.$

Giới hạn trên của số $N$ chưa được xác định, nhưng nó phải là rất lớn.

50. Giả thiết Goldbach về những con số lớn là gì?

Vào năm $1742$, Goldbach đã nêu giả thiết rằng mỗi con số lẻ $N$ đủ lớn có thể được biểu diễn bằng tổng của ba số nguyên tố, tức là

Số lẻ $N = p_{1} + p_{2} + p_{3}$

nhưng giả thiết thật ra được chứng minh bởi Vinogradov vào năm $1937.$

Nếu chúng ta cộng thêm $3$ vào hai vế của biểu thức liên hệ này, thì ta có

Số chẵn $N = p_{1} + p_{2} + p_{3} + 3$

tức là mỗi con số chẵn đủ lớn có thể được biểu diễn bằng tổng của bốn số nguyên tố.

Người ta còn biết rằng mỗi số nguyên đủ lớn là tổng của tối đa $20$ số nguyên tố.

(còn tiếp)

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 9)

11. Đại số trừu tượng là gì? Có phải nó là một sự khái quát hóa hơn nữa?

Trong đại số trừu tượng, ngay cả những thực thể này cũng mất hết ý nghĩa của chúng về phương diện độ lớn và người ta nói tới những “phần tử” khái quát hơn trên đó những toán tử tương tự các toán tử đại số có thể được thực hiện.

Một ví dụ của những phần tử như thế là hai chuyển động tác dụng liên tiếp nhau hợp lại sẽ tương đương với một chuyển động.

Để minh họa, kí hiệu chuyển động quay của một hình vuông quanh tâm của nó $90^{o}$ là $R_{1}$, $180^{o}$ là $R_{2}$ và $270^{o}$ là $R_{3}$, thì chuyển động quay $R_{1}$ rồi đến $R_{2}$ sẽ tương đương với một chuyển động $R_{3}$.

Một ví dụ nữa là hai phép biến đổi đại số sẽ tạo ra cùng một kết quả với một phép biến đổi đại số.

Để minh họa, kí hiệu phép tịnh tiến là $T_{1}$ và $T_{2}$ là phép quay, thì biến đổi $T_{1}$ rồi đến $T_{2}$ sẽ tương đương với một phép tịnh tiến $T_{3}$.

Do đó, nếu với một tập hợp nhất định của các “vật”, kí hiệu bằng những chữ cái, những toán tử nhất định có thể được định nghĩa theo những quy tắc nhất định, thì người ta nói một hệ thống đại số đã được định nghĩa. Vì thế, đại số học được nhận dạng là việc nghiên cứu những hệ thống đại số đa dạng, và khi đó nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề.

12. Vì sao nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề?

Nó là trừu tượng bởi vì chúng ta không quan tâm các chữ cái trong hệ thống đại số đó kí hiệu cho cái gì. Cái quan trọng là các tiên đề hay các quy tắc phải được thỏa mãn bởi các toán tử. Và nó có tính tiên đề bởi vì nó được xây dựng đơn thuần từ các quy tắc hay các tiên đề được phát biểu lúc ban đầu.

Hai hệ thống đại số như thế được gọi là nhóm và vành.

Tên gọi thoạt nghe có chút lạ lẫm, nhưng hiểu qua chút ít sẽ làm dịu đi phản ứng ban đầu đó. Chúng ta sẽ trở lại với chúng ở phần sau.

13. Những lĩnh vực nghiên cứu nào sử dụng đại số tiên đề?

Topo học, giải tích hàm, cơ học lượng tử và vật lí đương đại là một vài cái tên thuộc một vài lĩnh vực quan trọng, trong đó đại số tiên đề tỏ ra là công cụ khảo sát có sức mạnh nhất.

14. Số học là lí thuyết của những con số! Lí thuyết của những con số nghiên cứu cái gì?

Lí thuyết sơ cấp của những con số nghiên cứu cái sau đây:

Các hợp số và các quy tắc chia hết, số nguyên tố và sự xuất hiện của chúng, định lí cơ bản của số học, định lí Fermat, định lí Wilson, định lí cuối cùng của Fermat.

Các số Pythagoras,

Tính chất của những con số lớn,

Những con số được nói tới ở đây là số tự nhiên hoặc số nguyên dương.

15. Hợp số và số nguyên tố là gì?

Một số con số có thể được phân tích thành những thừa số nhỏ hơn, ví dụ $15 = 3 \times 5$, nhưng $11$ hoặc $17$ thì không phân tích được.

Các số có thể phân tích được thành những thừa số nhỏ hơn được gọi là hợp số, còn những số không thể phân tích được như thế được gọi là số nguyên tố.

16. Còn số $1$ thì sao? Nó có phải là số nguyên tố không?

Một số nguyên tố là số có ước số là $1$ và chính nó.

Ví dụ, số nguyên tố $7$ có hai ước số $1$ và $7$, mặc dù người ta gọi chúng là những ước số tầm thường.

Vì thế, nếu $1$ là số nguyên tố thì nó sẽ có đúng hai ước số. Nếu $1$ là hợp số, thì nó sẽ có nhiều hơn hai ước số. Nhưng số $1$ có đúng một ước số thôi, cho nên nó không phải là số nguyên tố, cũng chẳng phải là hợp số.

17. Các quy tắc chia hết là gì?

Sau đây là các quy tắc chia hết. Người ta học chúng ở nhà trường.

1. Một số là chia hết cho $2$, nếu chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho $2$. Như vậy, những số kết thúc với $0, 2, 4, 6$ hoặc $8$ là chia hết cho $2$, như trong $530$ và $138$.
2. Một số là chia hết cho $4$, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là $00$ hoặc chia hết cho $4$, như trong $300$ và $528$.
3. Một số là chia hết cho $8$, nếu ba chữ số tận cùng bên phải là $000$ hoặc chia hết cho $8$, như trong $3000$ và $3240$.
4. Một số là chia hết cho $5$, nếu chữ số tận cùng bên phải là $0$ hoặc $5$, như trong $240$ và $235$.
5. Một số là chia hết cho $25$, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là $00$ hoặc chia hết cho $25$, như trong $300$ và $425$.
6. Một số là chia hết cho $3$, nếu tổng các chữ số trong số đó chia hết cho $3$, như trong $231$.

Ở đây $2 + 3 + 1 = 6$, tổng chia hết cho $3$, vì thế $231$ chia hết cho $3$.

Ta dễ dàng thấy được nguyên nhân như sau:

$$231= 2 \times 100 + 3 \times 10 + 1$$

$$= 2 \times (99 + 1) + 3 \times (9 + 1) + 1$$

$$= 2 \times 99 + 2 \times 1 + 3 \times 9 + 3 \times 1 + 1$$

$$= 2 \times 99 + 2 + 3 \times 9 + 3 + 1$$

$$= (2 \times 99 + 3 \times 9) + (2 + 3 + 1)$$

$=$ (một bội của $9$) + (tổng các chữ số).

Do đó, một con số là chia hết cho $3$, nếu tổng các chữ số của nó là chia hết cho $3.$

7. Một số là chia hết cho $9$, nếu tổng các chữ số trong số đó chia hết cho $9$, như trong $477$.

Ở đây, $4 + 7 + 7 = 18$, tổng chia hết cho $9$, nên $477$ chia hết cho $9$.

Lí do trong trường hợp này cũng tương tự như với trường hợp chia hết cho $3$

8. Một số là chia hết cho $11$ nếu hiệu giữa tổng của các chữ số thứ tự lẻ và tổng các chữ số thứ tự chẵn bằng $0$ hoặc bằng bội của $11$.

Xét con số $1 8 3 9 5 5 2.$

Tổng các chữ số thứ tự lẻ là $1 + 3 + 5 + 2 = 11$,

Tổng các chữ số thứ tự chẵn là $8 + 9 + 5 = 22$,

Hiệu bằng $22 – 11 = 11$, chia hết cho $11$,

nên $1 8 3 9 5 5 2$ chia hết cho $11$.

18. Còn những quy tắc nào khác nữa không?

Vâng, có những quy tắc hấp dẫn như sau:

1. Tích của hai số bằng tích của ước chung lớn nhất của chúng và bội chung nhỏ nhất của chúng.
   Như vậy, nếu hai số là $12$ và $18$, thì ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng tương ứng là $6$ và $36$, và $12 \times 18 = 6 \times 36 = 216.$
2. Tích của hai số nguyên liên tiếp là chia hết cho $2$, tức là $n(n + 1)$ là chia hết cho $2$, trong đó $n$ là số nguyên bất kì.
3. Tích của ba số nguyên liên tiếp, tức là $n(n + 1)(n + 2)$, là chia hết cho $2 \times 3$, tức là $6$.
4. Tích của bốn số nguyên liên tiếp, tức là $n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$ là chia hết cho $2 \times 3 \times 4$, tức là $24$.
5. Tích của $r$ số nguyên liên tiếp là chia hết cho $2 \times 3 \times 4 \times ... \times r$, hay $r!$ .
   Tích $1.2.3...r$ được gọi là $r$ giai thừa, và được kí hiệu là $r!$
6. Với mọi số lẻ $n$, số $n^{2} – 1$ là chia hết cho $8.$
   Nếu $n$ là một số lẻ, thì $n – 1$ phải chẵn và chia hết cho $2$. Đồng thời, $n + 1$ là số chẵn liền sau và, do đó, chia hết cho $4$. Vì thế, tích này chia hết cho $8$.

19. Có bao nhiêu số nguyên tố?

Có vô hạn số nguyên tố.

Các số nguyên tố nhỏ hơn $100$, xếp theo thứ tự là:

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.$$

Một vài số nguyên tố lớn hơn $100$ là:

$$101, 103, 107, 109,..., 211,..., 307,..., 401,..., 503,..., 601,..., 701,...,809,..., 907,..., 65537,...,510511,...$$

20. Có nguyên tố lớn nhất không?

Câu hỏi liệu dãy số trên có điểm dừng hay không, hoặc các số nguyên tố có vô hạn về số lượng hay không, đã không được trả lời trong một thời gian khá lâu, cho đến khi Euclid chứng minh rằng chúng phải vô hạn về số lượng, và không có số nguyên tố lớn nhất.

21. Euclid đã chứng minh các số nguyên tố là vô hạn về số lượng như thế nào?

Lập luận chứng minh như sau:

Nếu chỉ có một số lượng hữu hạn số nguyên tố, thì phải có một số nguyên tố lớn nhất, ví dụ là $P$, khi đó thì số

$$(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times ... \times P) +1$$

sẽ cho số dư là $1$ khi chia mỗi số $2, 3, 5, 7, 11,..., P.$

Do đó, con số trên không thể chia hết cho bất kì số nguyên tố nào trong những số này. Như vậy, nó phải là một số nguyên tố hoặc có thể được chia hết bởi một số nguyên tố lớn hơn $P$. Dù là trường hợp nào thì $P$ chẳng phải là số nguyên tố lớn nhất. Vì thế, có số lượng vô hạn các số nguyên tố.

22. Phương pháp nào dùng để tính ra số nguyên tố?

Phương pháp tính số nguyên tố đến số $N$ bất kì khá đơn giản. Trước tiên, chúng ta viết tất cả các số từ $1$ đến $N$,

$$1, 2, 3, 4,..., N$$

sau đó xóa đi, trước tiên là số $1$, rồi đến tất cả những số bội của $2$ ngoại trừ $2$, rồi đến tất cả những số là bội của $3$ ngoại trừ $3$, rồi đến tất cả những số là bội của $5$ ngoại trừ $5$, rồi đến tất cả những số là bội của $7$ ngoại trừ $7$, và cứ thế. Các bội số của $4, 6,...$ đã bị xóa trước đó. Những số còn lại khi ấy sẽ là số nguyên tố.

23. Các số nguyên tố phân bố như thế nào?

Mặc dù vô hạn về số lượng, nhưng con số càng lớn thì chúng ta càng hiếm gặp số nguyên tố hơn. Nhưng sự phân bố của chúng là cực kì không đều, bởi vì trong khi hai số nguyên tố liên tiếp có thể chỉ sai khác nhau 2, nhưng hai số nguyên tố liên tiếp cũng có thể sai khác nhau đến một triệu.

Ví dụ, xét các số $10! + 2, 10! + 3, 10! + 4,..., 10! + 10$ lần lượt chia hết cho $2, 3, 4,..., 10.$ Theo cách này, chúng ta có thể tạo ra nhiều hợp số liên tiếp như chúng ta muốn, cho dù một triệu hoặc nhiều hơn, trong đó không có số nào là số nguyên tố. Mặt khác, các số nguyên tố $1.000.000.009.649$ và $1.000.000.009.651$ chỉ sai khác nhau $2$.

24. Có bao nhiêu số nguyên tố nằm giữa một con số bất kì và số gấp đôi của nó?

Giữa một con số bất kì lớn hơn $1$ và số gấp đôi của nó luôn luôn có ít nhất một số nguyên tố.

Joseph Bertrand đã ước chừng kết quả này và đã xác nhận nó theo kiểu kinh nghiệm bằng những bảng kê đến những con số rất lớn, nhưng nó thật sự được chứng minh là bởi Chebychev.

25. Có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước?

Một ước đoán số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước cũng đã được nêu ra.

Các số nguyên tố nhỏ hơn $20$ là $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$, tức là có $8$ số, nên ta nói $\pi(20) = 8.$

Tương tự:

$$\pi(100) = 25, \pi(200) = 46,\pi(300) = 62, \pi(400) = 78, \pi(500) = 95, \pi(600) = 109, \pi(700) = 125, \pi(800) = 139,\pi(900) = 154,\pi(1000) = 168.$$

Danh sách có thể tiếp tục đến vô hạn, nhưng không thể tìm được một công thức đơn giản cho $\pi (x)$, trong đó $\pi (x)$ là kí hiệu cho số lượng số nguyên tố nhỏ hơn $x$.

26. Định lí số nguyên tố là gì?

Định lí số nguyên tố phát biểu rằng đối với giá trị $x$ lớn, số lượng số nguyên tố nhỏ hơn $x$ xấp xỉ bằng $\frac{x}{\log x}$, trong đó phép tính logarithm là logarithm tự nhiên.

Định lí được phỏng đoán bởi Gauss vào năm 1793, nhưng được chứng minh bởi Hadamard và de la Valle’e Poussin vào một thế kỉ sau đó, năm 1896.

27. Có công thức nào cho ra tất cả các số nguyên tố hay không?

Không. Người ta đã tốn nhiều công sức để tìm một công thức sẽ cho ra mọi số nguyên tố, nhưng chẳng có ai thành công.

Có thể nhắc lại một số trường hợp.

Biểu thức $n^{2} + n + 17$ là số nguyên tố với mọi giá trị của $n$ từ $1$ đến $16$,

$2n^{2} + 29$ là số nguyên tố với các giá trị của $n$ từ $1$ đến $28$,

$n^{2} – n + 41$ là số nguyên tố với các giá trị của $n$ từ $1$ đến $40$,

và $n^{2} – 79n + 1601$ hay $(n – 40)^{2} + (n – 40) + 41$ là số nguyên tố với các giá trị của $n$ từ $1$ đến $79.$

Dirichlet đã chứng minh rằng mỗi chuỗi số

$$an + b, n = 0, 1, 2,3,...$$

trong đó $a, b$ là hai số nguyên dương không có ước số chung lớn hơn $1$, có chứa một số lượng vô hạn số nguyên tố.

Ví dụ, có vô hạn số nguyên tố có dạng $6n + 1$, mặc dù, tất nhiên, không phải số nào như thế cũng là số nguyên tố. Với $n = 4, 6n + 1 = 25$, không phải là số nguyên tố.

Tuy nhiên, người ta đã chứng minh được rằng không có công thức đại số dạng hữu tỉ nào có thể chỉ biểu diễn số nguyên tố.

28. Có phải mọi số nguyên tố đều giống nhau?

Có hai dạng số nguyên tố.

Tất cả số nguyên tố ngoại trừ $2$ đều có dạng hoặc $4n – 1$ hoặc $4n + 1.$

Trong số này, mỗi số nguyên tố có dạng $4n + 1$ có thể được biểu diễn là tổng của hai bình phương duy nhất. Ví dụ, $5 = 1^{2} + 2^{2}, 13 = 2^{2} + 3^{2}, 17 = 1^{2} + 4^{2}, 29 = 2^{2} + 5^{2}, 953 = 13^{2} + 28^{2}.$

Tuy nhiên, nếu một số có dạng $4n + 1$ có thể được biểu diễn là tổng của hai bình phương theo hai cách khác nhau, thì nó không thể là số nguyên tố. Ví dụ, $545 = 17^{2} + 16^{2} = 23^{2} + 4^{2}$, và $545$ không phải là số nguyên tố.

Không có số nguyên nào dạng $4n – 1$ có thể bằng tổng của hai bình phương, ví dụ $11$ hay $23$ không thể nào được biểu diễn như thế.

29. Những câu hỏi nào về số nguyên tố cho đến nay chưa được giải đáp?

Hai câu hỏi trông đơn giản liên quan đến số nguyên tố nhưng chưa được giải đáp là như sau:

Một là có hay không một vô hạn số nguyên tố thuộc dạng $n^{2} + 1$, trong đó $n$ là số nguyên.

Nếu chúng ta cho $n$ nhận liên tiếp các giá trị $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...$ thì $(n^{2} + 1)$ nhận các giá trị $2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101,...$ Trong số này có một số là số nguyên tố còn số khác thì không. Câu hỏi đặt ra là đến lúc nào thì quá trình này dừng cho ra số nguyên tố.

Hai là phỏng đoán của Goldbach khẳng định rằng mỗi số chẵn lớn hơn $2$ bằng tổng của hai số nguyên tố, ví dụ $40 = 11 + 29$. Giả thiết đã được xác nhận bởi những bảng kê số nhưng chưa từng được chứng minh.

30. Định lí cơ bản của số học! Nó là gì?

Một tính chất mà mỗi số nguyên lớn hơn $1$ đều có là hoặc nó là số nguyên tố, hoặc nó có thể được phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố theo cách duy nhất.

Kết quả cho mỗi số nguyên được phân tích thành tích của các thừa số duy nhất như thế này được gọi là định lí cơ bản của số học.

Ví dụ, $30$ có thể được phân tích thành $2 \times 3 \times 5$ và không có cách nào khác, một trật tự sắp xếp khác của các thừa số, ví dụ $3 \times 2 \times 5$, không được xem là một phân tích thừa số khác.

Định lí này còn được gọi là định lí phân tích thành thừa số duy nhất.

(còn tiếp)

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 8)

146. Chủ nghĩa hình thức Hilbert có nghĩa là gì?

Sự tiên đề hóa các hệ thống toán học đưa đến quan điểm rằng toán học được xem là một trò chơi thuần túy với những nước đi thuần túy trên giấy tuân theo những quy tắc rõ ràng nhất định. Trò chơi và các nước đi đó được xem là không có ý nghĩa hay cách hiểu gì cả.

Vì thế, các hệ thống được hình thức hóa theo nghĩa này và kết cục là chủ nghĩa hình thức Hilbert.

147. Ưu điểm của chủ nghĩa hình thức này là gì?

Ưu điểm của việc xem những hệ thống toán học là những hệ hình thức là nhờ đó người ta thoát khỏi nhiều câu hỏi rắc rối và không cần thiết, nếu không thì chúng là câu hỏi căn bản và không dễ gì bác bỏ triệt để.

148. Những câu hỏi đó là gì?

Để sáng tỏ, hãy xét những câu hỏi sau đây:

Các con số là gì?

Các con số có tồn tại không?

Làm thế nào chúng ta biết được các quy tắc của các con số là đúng?

Những câu hỏi này khác như vậy là những câu hỏi quan trọng, nhưng trong một hệ hình thức hóa thì chúng trở nên không cần thiết và phải rời khỏi cuộc chơi.

Các công thức của hệ, khi đó, có ý nghĩa bất kì, chúng không đúng cũng chẳng sai, và không đưa ra khẳng định nào về sự tồn tại của bất cứ cái gì.

149. Gödel chứng minh kết quả của ông như thế nào?

Gödel đánh số các kí hiệu, các công thức, và các chuỗi công thức, tức là các chứng minh trong chủ nghĩa hình thức Hilbert theo một kiểu nhất định gọi là đánh số Gödel, và từ đó biến đổi mọi khẳng định thành những mệnh đề toán học.

Phương pháp của ông gồm một tập hợp những quy tắc tạo ra một tương ứng một-một giữa các số nguyên và những kí hiệu đa dạng hoặc các tổ hợp kí hiệu. Khi đó ông có thể chứng minh rằng tính nhất quán của số học là không thể quyết định được bởi bất kì lập luận nào thuộc chủ nghĩa hình thức của số học.

Để tiếp tục chứng minh thật sự, người ta phải quán triệt trước bốn mươi sáu định nghĩa sơ bộ và một vài bổ đề quan trọng.

Chứng minh đó là khó và lập luận quá phức tạp để một người không chuyên toán có thể theo dõi.

150. Nghiên cứu của Gödel chỉ có ý nghĩa tiêu cực thôi hay sao?

Không.

Công trình của Gödel đưa ra một kĩ thuật phân tích mới trong các nền tảng của toán học và làm phát sinh một ngành toán học rất quan trọng, đó là Lí thuyết Chứng minh.

Kĩ thuật thật sự đã đánh thức sự hoạt động sôi nổi trong ngành logic toán và kết cục của nó khó mà nói trước được.

Công trình của Gödel thật ra đã khích lệ, chứ không làm thoái chí sự sáng tạo toán học.

151. Bài học do khám phá to lớn này mang lại là gì?

Khám phá để đời này làm sáng tỏ những hạn chế cố hữu của phương pháp suy luận. Nó thường được xem là một trong những thành tựu trí tuệ vĩ đại nhất của thế kỉ hai mươi.

Tuy nhiên, nó không nhất thiết gây ra sự chán nản hay tuyệt vọng.

Nó chỉ hàm ý rằng những phương pháp nghiên cứu sâu sắc hơn và phức tạp hơn vẫn chưa được nghĩ ra, vì luận giải sáng tạo thừa nhận không có hạn chế.

152. Vậy phương pháp tiên đề có bị từ bỏ hay không?

Không, còn lâu người ta mới bỏ. Trái lại, nó được công nhận là một kiểu mẫu biểu thị khuôn khổ logic được chấp nhận của bất kì mô hình toán học nào.

Thật vậy, kết quả của Gödel không dính líu gì đến công việc hằng ngày của chúng ta, nó không gây đe dọa cho cả nền toán học đang được sử dụng hằng ngày và ở mọi nơi.

153. Việc chấp nhận phương pháp tiên đề có công dụng gì khi mà một hệ nhất quán thì không thể hoàn chỉnh?

Đúng là với một số lượng đáng kể các phân ngành toán học, chúng ta không thể có những hệ hoàn chỉnh mà chỉ có những hệ không hoàn chỉnh được chúng ta khai sáng thêm. Ưu điểm là nó mang đến nhiều thành quả.

Tính không hoàn chỉnh của hệ không gây ngăn trở đối với công dụng của nó.

154. Vì sao phương pháp tiên đề được sử dụng rộng rãi như thế khi mà nó có những hạn chế cố hữu?

Phương pháp tiên đề và những hạn chế của nó là một bộ phận của những nền tảng toán học, còn việc nó được sử dụng rộng rãi là do sự áp dụng mang đến nhiều thành quả của nó.

Vì thế, lời khuyên là nên phân biệt giữa toán học và các ứng dụng của toán học.

Ví dụ, một hệ thống toán học mà chúng ta gọi là hình học không nhất thiết là một mô tả của không gian thực tế. Việc khẳng định một loại hình học nhất định là một mô tả của một không gian vật lí là một phát biểu vật lí, chứ không phải một phát biểu toán học.

Do đó, trong những ứng dụng rộng rãi của toán học, người ta không phải quan tâm về sự tồn tại toán học và các khái niệm toán học, chúng thật sự thuộc về miền đất nền tảng của toán học.

155. Cái gì là thích đáng cho các ứng dụng của toán học?

Cái thích đáng hay quan trọng cho các ứng dụng là các tiên đề và các khái niệm của một hệ thống toán học phải ăn khớp với các phát biểu về các đối tượng có thật và phải có thể xác nhận những phát biểu đó trên phương diện vật lí.

Kết quả của Gödel chẳng có liên quan gì đến các ứng dụng của toán học. Nó là kết quả của một nghiên cứu có chiều sâu về những nền tảng của toán học nói chung và sự tồn tại toán học nói riêng.

156. Tồn tại toán học có ý nghĩa chính xác là gì?

Chúng ta đã thấy các điểm và các đường thẳng của hình học là các trừu tượng của các đối tượng vật lí của chúng và không nhất thiết tương đồng với chúng.

Tương tự như vậy, các thực thể toán học không nhất thiết phải liên hệ gần gũi với các vật thể của thế giới vật chất.

Điều này cho thấy tồn tại toán học khác với tồn tại vật lí như thế nào.

Trong các ứng dụng của toán học, nếu mô hình vật lí khớp với mô hình toán học, thì các kết quả toán học có thể được tận dụng, nhưng sự tương ứng hoàn toàn giữa hai bên là không nhất thiết.

Các ứng dụng có liên quan với tồn tại vật lí nhưng các mô hình toán học thì chỉ quan tâm đến tồn tại toán học.

157. Tập hợp gồm những tiên đề nào là đủ cho đại số ở trường phổ thông?

Đại số ở nhà trường chủ yếu xử lí các con số. Tính chất của những con số và các toán tử thường gặp trên chúng có thể được phát triển từ tập hợp gồm những tiên đề sau đây:

1. Với hai con số bất kì, tổng của chúng được xác định duy nhất.

2. Với hai con số bất kì, tích của chúng được xác định duy nhất.

3. Tồn tại một số $0$ có tính chất $a + 0 = a.$

4. Với mỗi số $a$, tồn tại một số $x$ sao cho $a + x = 0.$

5. Phép cộng có tính giao hoán, tức là $a + b = b + a.$

6. Phép cộng có tính kết hợp, tức là $a + (b + c) = (a + b) + c.$

7. Phép nhân có tính giao hoán, tức là $ab = ba.$

8. Phép nhân có tính kết hợp, tức là $a(bc) = (ab)c.$

9. Phép nhân có tính phân phối, tức là $a(b + c) = ab + ac; (b + c)a = ba + ca.$

10. Với mỗi số $a$ và $b$ khác không, tồn tại một số $x$ duy nhất sao cho $bx = a.$

Bất kì hệ đại lượng nào thỏa mãn mười điều kiện này được gọi là một trường.

Các ví dụ của trường là tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực, và tập hợp số phức.

Trong mỗi trường hợp này, khi cộng và nhân các số thuộc tập hợp cho ta một con số cũng thuộc tập hợp đó, và các toán tử thỏa mãn mười điều kiện trên.

Ngoài những ví dụ này, có nhiều đại lượng khác của tự nhiên cũng tạo thành một trường. Các phân thức đại số, chẳng hạn, cũng tuân theo mười điều kiện này và vì thế tạo thành một trường.

158. Các hệ thống tiên đề mới được tạo ra như thế nào?

Có thể thu được những hệ thống tiên đề mới bằng cách loại trừ một hoặc nhiều tiên đề của một hệ thống đã cho.

Ví dụ, bằng cách bỏ đi tiên đề 7, chúng ta có một hệ tuân theo đại số ma trận, trong đó tích của hai ma trận phụ thuộc vào trật tự chúng được đem nhân.

Cũng có thể thu được những hệ thống tiên đề mới từ một hệ đã cho bằng cách thay đổi một hoặc nhiều tiên đề của nó theo một kiểu thích hợp.

Sự ra đời của một hệ tiên đề cho hình học phi Euclid từ các tiên đề của hình học Euclid, bằng cách thay thế tiên đề hai đường song song bởi một trong những phủ nhận của nó, là một ví dụ cho cách thu về một hệ thống tiên đề mới theo kiểu này.

Hết phần 1: Hình học và các loại hình học

Phần 2: Đại số và Các loại đại số

1. Hình học đã được phát triển ở hình thức tiên đề, còn Số học và Đại số thì không. Tại sao vậy?

Nguyên nhân nằm ở nguồn gốc của chúng.

Hình học đã được phát triển bởi người Ai Cập, là kết quả đo đạc đất đai của họ. Vào thế kỉ thứ 7 trước Công nguyên, hình học đã lan truyền từ Ai Cập sang Hi Lạp, nơi nó dần dần phát triển thành một lí thuyết toán học.

Như vậy, hình học là một lí thuyết toán học có nguồn gốc Hi Lạp. Người Hi Lạp đã gắn giá trị lớn cho các chứng minh và vì thế đã phát triển hình học theo hướng tiên đề.

Toán học của những con số của chúng ta có nguồn gốc của nó thuộc về toán học của người Hindu, người Arab và người Babylon.

Họ không quan tâm đến việc đưa ra các chứng minh nên toán học của những con số đã được truyền lại cho chúng ta đơn thuần ở dạng một tập hợp những quy tắc tính toán không liên quan với nhau mấy.

Xu hướng hiện đại là trình bày tất cả các nghiên cứu toán học theo hình thức tiên đề.

2. Ý nghĩa của từ “arithmetic” là gì?

Từ “arithmetic” (sự tính/số học) có nghĩa là “nghệ thuật tính toán” nên bài học ở trường tiểu học của chúng ta là một tập hợp gồm những lời giải của những bài toán đa dạng và các quy tắc tính toán.

Nhưng theo thời gian arithmetic đã biến thành lí thuyết của những con số.

3. Số học là một trừu tượng phải không?

Số học thể hiện những nỗ lực sớm nhất của trí tuệ con người đối với sự trừu tượng.

Như vậy, khi chúng ta nói, $2 + 3 = 5$, đó là một phát biểu không phải nói về những vật đặc biệt như cái bút chì hay đồng xu, mà về tất cả những vật có thể đếm được vẫn giữ được nhận dạng riêng của chúng.

Ở đây, bản chất của các vật, tức là chúng là cái bút chì hay đồng xu hay cây cối hay bất kì cái gì khác, dù sống hay không sống, vân vân... không còn liên quan nữa, và phát biểu thành ra đúng theo một kiểu chung chung.

Các con số được đặt tên (một, hai, ba,...) và kí hiệu $(1, 2, 3,...)$ và được sử dụng như những vật cụ thể bền bỉ đến mức chúng ta có xu hướng quên mất rằng chúng ta đang giải quyết các khái niệm chứ không phải các vật cụ thể.

4. Phát biểu $2 + 3 = 5$ có đúng cho mọi loại vật hay không?

Không. Nếu các vật không giữ được nhận dạng riêng của chúng, thì phát biểu trên có thể không đúng đối với chúng.

Ví dụ, thêm $2$ giọt nước vào $3$ giọt nước có thể chỉ tạo ra một giọt nước – một giọt nước lớn.

Tương tự, nếu nhốt $2$ con hổ và $3$ con thỏ chung một chuồng, thì sau một lúc nào đó có thể ta thấy chỉ còn hai con vật thôi – hai con hổ sẽ ăn thịt $3$ con thỏ cùng đường mạt lộ kia.

Một ví dụ nữa, một lực bằng $2$ đơn vị và một lực khác bằng $3$ đơn vị, hai lực cùng tác dụng vào một vật có thể cho hợp lực bằng bất kì giá trị nào nằm giữa $1$ và $5$ đơn vị lực tùy thuộc vào góc giữa chúng.

Nếu chúng tác dụng ngược chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng một đơn vị, còn nếu chúng tác dụng cùng chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng $5$ đơn vị.

Tuy nhiên, tổng của chúng sẽ bằng $4$ đơn vị nếu góc giữa chúng bằng $75,5^{o}$.

5. Sự mở rộng khái niệm số có nghĩa là gì?

Những con số đầu tiên gắn liền với những vật cụ thể nên khái niệm số ban đầu hạn chế với chỉ những con số nguyên. Các phân số xuất hiện tự nhiên sau đó và sự ra đời của một kí hiệu cho số không là một sự kiện lớn, còn các số âm được thừa nhận lại là một sự miễn cưỡng lớn.

Những con số như thế gộp chung lại được gọi là số hữu tỉ.

Một lần nữa sự mở rộng này bắt đầu, và đến lượt số vô tỉ và số phức được công nhận.

Một số vô tỉ là con số không thể biểu diễn được bằng thương của hai số nguyên. Ví dụ, $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ.

Số vô tỉ và số hữu tỉ được gọi chung là số thực.

Một số phức là một con số bất kì có dạng $a + bi$, trong đó $a$ và $b$ là số thực, và $i$ là kí hiệu cho căn bậc hai của trừ một, tức là $i^{2} = - 1.$

6. Các số siêu việt là gì?

Những số vô tỉ không bằng căn bậc hai của bất kì phương trình đại số nào được gọi là số siêu việt.

$e$ và $\pi$là những số như thế.

$$e = 2,71828...;\pi= 3,14159...$$

các dấu chấm ở cuối có nghĩa là chuỗi số không có kết thúc mà kéo dài đến vô tận.

Về các số siêu việt, có một kết quả thú vị do Gelfond chứng minh vào năm $1934$ là $\alpha^{\beta }$ là siêu việt nếu $\alpha$ là đại lượng đại số khác $0$ và khác $1$, và $\beta$ là đại lượng đại số và không phải số hữu tỉ. Như vậy, $2^{\sqrt{3}}, 3^{\sqrt{2}}, 5^{\sqrt{3}}$ là những số siêu việt. Nhưng nếu $\alpha$ và $\beta$ đều là siêu việt thì không biết $\alpha^{\beta }$ có siêu việt hay không. Ví dụ, người ta không rõ $e^{e}, \pi^{\pi}$ hoặc $\pi^{e}$ có là siêu việt hay không.

Tuy nhiên, $e^{i \pi} = - 1$ là một kết quả rất đẹp.

7. Vì sao đại số được gọi là số học khái quát hóa?

Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ.

Ở nhà trường, trẻ em được học rằng nếu lấy bình phương của một con số trừ cho 1, thì nó bằng tích của số liền trước và số liền sau con số đó.

Như vậy:

$$4^{2} – 1 = (4 + 1) (4 – 1).$$

$$5^{2} – 1 = (5 + 1) (5 – 1)$$

$$6^{2} – 1 = (6 + 1) (6 – 1).$$

Rõ ràng mệnh đề trên là đúng nếu ở chỗ $4, 5$ hoặc $6$, ta thay vào con số bất kì nào khác.

Nếu đưa một kí hiệu mới, ví dụ như $x$, để biểu diễn một con số bất kì và là một con số không có gì đặc biệt hết, thì mệnh đề trên có thể được viết khái quát như sau

$$x^{2} – 1 = (x + 1) (x – 1).$$

Việc đưa thêm vào kí hiệu $x$ là sự khởi đầu của đại số.

8. Sức mạnh của đại số nằm ở đâu?

Đại số có được phần lớn sức mạnh của nó từ việc xử lí bằng kí hiệu với các phần tử, các toán tử và các liên hệ.

Các kí hiệu $x, y, z,...$ được dùng làm các phần tử, phép cộng và phép nhân chủ yếu được dùng làm toán tử, và dấu bằng là liên hệ bình thường kết nối các phần tử.

Như vậy $x + x = 2x$ và $x + y = y + x$

cho dù $x$ và $y$ biểu diễn con số nào.

9. Đại số có được khái quát hóa không?

Kí hiệu $x$, dùng để biểu diễn con số bất kì, có tiềm năng giả định lớn. Trước tiên, nó mang đến các phương trình đại số, cái thống lĩnh địa hạt nghiên cứu lâu đến mức trong khoảng một thế kỉ rưỡi, đại số chỉ là lí thuyết của các phương trình.

Sau này $x$ không chỉ hạn chế là những con số mà nó còn được sử dụng để biểu diễn bất kì thực thể nào khác, và các dấu toán tử cho phép cộng và phép nhân đã được phép mang lại những ý nghĩa mới tùy thuộc vào loại thực thể đang được xét đến.

Vì thế, thực thể xác định ý nghĩa gắn liền với dấu $+$ và $\times$.

Các vector và ma trận là hai ví dụ quen thuộc của những thực thể như thế. Chúng sẽ được nói tới ở phần sau.

Đây là hình ảnh khái quát hóa của cái đại số ban đầu đại diện.

10. Nó khác như thế nào với hình thức ban đầu của đại số?

Trong đại số sơ cấp, các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường, và các dấu toán tử, ví dụ $+$ và $\times$ kí hiệu cho phép cộng và phép nhân bình thường. Nhưng ở hình thức khái quát hóa, các chữ cái kí hiệu cho thực thể bất kì nào đó, và dấu của toán tử là bất kì quy tắc kết hợp nào có liên quan đến thực thể.

(còn tiếp)